Решение задач с комплексными числами. Основные определения и операции. Для решения задач с комплексными числами необходимо разобраться с основными определениями. Главная задача данной обзорной статьи объяснить, что же такое комплексные числа, и предъявить методы решения основных задач с комплексными числами. Итак, комплексным числом будем называть число вида z a bi, где a, b вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и обозначают a Rez, bImz. В частности, любое вещественное число можно считать комплексным a a 0i, где a вещественное. Если же a 0 и b. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке N натуральные числа, Z целые, Q рациональные, R вещественные, C комплексные. Представление комплексных чисел. Алгебраическая форма записи. Рассмотрим комплексное число z a bi, такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок. Тригонометрическая форма. Комплексные Числа Примеры Решений' title='Комплексные Числа Примеры Решений' />Из рисунка видно, что число z a bi можно записать иначе. Очевидно, что a rcos. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой. Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Например, ее удобно использовать для возведения комплексного числа в целую степень, а именно, если z rcos. Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного числа в степень zn rnein. Такая форма записи довольно часто используется для решения задач. Основная теорема высшей алгебры. Представим, что у нас есть квадратное уравнение x. Очевидно, что дискриминант этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень. Из этого следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется. Простым следствием из этой теоремы является такой результат существует ровно n различных корней степени n из единицы. Основные типы задач. В этом разделе будут рассмотрены основные типы простых задач на комплексные числа. Условно задачи на комплексные числа можно разбить на следующие категории. Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами. Нахождение корней многочленов в комплексных числах. Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение корней из комплексных чисел. Применение комплексных чисел для решения прочих задач. Теперь рассмотрим общие методики решения этих задач. Выполнение простейших арифметических операций с комплексными числами происходит по правилам описанным в первом разделе, если же комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной формах, то в этом случае можно перевести их в алгебраическую форму и производить операции по известным правилам. Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Предположим, что у нас есть квадратное уравнение, если его дискриминант неотрицателен, то его корни будут вещественными и находятся по известной формуле. Если же дискриминант отрицателен, то есть D 1. Вернемся к упомянутому выше квадратному уравнению x. Дискриминант D 1 4. Если требуется возвести комплексное число в алгебраической форме в небольшую степень 2 или 3, то можно сделать это непосредственным перемножением, но если степень больше в задачах она часто бывает гораздо больше, то нужно записать это число в тригонометрической или показательной формах и воспользоваться уже известными методами. Рассмотрено несколько простых примеров. Итак, комплексным числом будем называть число вида z a bi, где a, b вещественные числа, которые. Примеры записи в тригонометрической форме и показательной форме. Комплексное число в тригонометрической форме z. Для получения решения необходимо отключить блокираторы типа. Комплексные числа для чайников math prof http Комплексный анализ Примеры решений типовых задач. Комплексные числа учебное пособие Н. Деменева Мво с. х. Изложение сопровождается разнообразными примерами и заданиями. Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел. Бесплатные примеры решений задач с комплексными числами. Действия с комплексными числами, виды записи, корни и степени, графическое. На нашем сайте собраны примеры решения комплексных чисел. Каждая задача содержит подробное решение и ответ. Более 500 примеров для. В ролике разбираются примеры нахождения комплексных чисел. Что для этого. Как найти значение комплексного числа. Действия над комплексными числами Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше. Комплексные Числа Примеры Решений' title='Комплексные Числа Примеры Решений' />Пример. Рассмотрим z 1 i и возведем в десятую степень. Запишем z в показательной форме z. Для извлечения корней довольно часто используется показательная форма записи числа. Пример. Найдем все корни степени 3 из единицы. Для этого найдем все корни уравнения z. Клиническая Фармакология По Гудману И Гилману Книга 1. Подставим в уравнение r. Приведем простой пример такой задачи Найти сумму sinx sin2x sin2x. Для ее решения используются следующие представления Если теперь подставить это представление в сумму, то задача сводится к суммированию обычной геометрической прогрессии. Заключение. Комплексные числа широко применяются в математике, в этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу. Литература. Здесь конкретных рекомендаций не будет, так как почти во всех задачниках по высшей математике есть задачи на комплексные числа.